Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Если же из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится 1/12. Найдите эту дробь.

Обозначу дробь $\frac{x}{y}$.

По условию:

1. $\dfrac{2x}{y-2}=2 \Rightarrow 2x=2(y-2)\Rightarrow x=y-2.$

2. $\dfrac{x-4}{4y}=\dfrac{1}{12}\Rightarrow 12(x-4)=4y\Rightarrow 3x-12=y.$

Из первой связи $x=y-2 \Rightarrow y=x+2$. Подставляю во вторую:
$x+2=3x-12 \Rightarrow 14=2x \Rightarrow x=7.$

Тогда $y=x+2=9$.

Проверка:
$\dfrac{2\cdot 7}{9-2}=\dfrac{14}{7}=2$ и $\dfrac{7-4}{4\cdot 9}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$ — всё верно.

Искомая дробь: $\boxed{\dfrac{7}{9}}$.