Укажите множество решений неравенства ((2х-3)(х+2))/(х-6)≤0

Решаем неравенство

1) Область допустимых значений

Знаменатель не должен быть равен нулю:

2) Нули числителя

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

Точки $-2$ и $\frac32$ входят в решение (там значение дроби равно 0), а $6$ не входит (там дробь не определена).

3) Метод интервалов (знаки на промежутках)

Критические точки: $-2,\;\frac32,\;6$. Разбиваем числовую прямую:

1. $(-\infty,-2)$
   Возьмём $x=-3$:
   $(2x-3)<0,\ (x+2)<0 \Rightarrow (2x-3)(x+2)>0$;
   $(x-6)<0$.
   Положительное / отрицательное = отрицательное, значит подходит.

2. $(-2,\frac32)$
   Возьмём $x=0$:
   $(2x-3)<0,\ (x+2)>0 \Rightarrow (2x-3)(x+2)<0$;
   $(x-6)<0$.
   Отрицательное / отрицательное = положительное, не подходит.

3. $(\frac32,6)$
   Возьмём $x=2$:
   $(2x-3)>0,\ (x+2)>0 \Rightarrow (2x-3)(x+2)>0$;
   $(x-6)<0$.
   Положительное / отрицательное = отрицательное, подходит.

4. $(6,\infty)$
   Возьмём $x=7$:
   числитель $>0$, знаменатель $>0$ ⇒ дробь положительная, не подходит.

4) Записываем ответ

Берём промежутки, где выражение отрицательно, и добавляем точки, где оно равно нулю ($-2$ и $\frac32$), но исключаем $6$.

Множество решений: