Y=59x-56sinx+42 на отрезке [-π/2;0] найдите наибольшее значение функции

Рассмотрим функцию

1) Найдём производную и исследуем монотонность

Критические точки возможны, если $y'(x)=0$:

Но $\frac{59}{56}>1$, а косинус не может быть больше 1 ни при каких $x$. Значит, на отрезке критических точек нет.

Теперь посмотрим знак производной на всём отрезке $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$. На этом отрезке

потому что $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$, $\cos(0)=1$, и косинус там неотрицателен.

Тогда минимально возможное значение производной будет при максимальном $\cos x=1$:

Следовательно, $y'(x)$ положительна на всём отрезке, значит функция строго возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$.

2) Где достигается наибольшее значение

Раз функция возрастает, наибольшее значение на отрезке достигается в правом конце:

3) Вычислим значение функции в точке $x=0$

Ответ: наибольшее значение функции на $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$ равно $\boxed{42}$ (достигается при $x=0$).