Y=59x-56sinx+42 на отрезке [-π/2;0] найдите наибольшее значение функции

Ответы на вопрос

Отвечает Николаева Татьяна.

Рассмотрим функцию

y(x)=59x-56\sin x+42,\qquad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\,0\right].

y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(59x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(56\sin x\bigr)+\frac{d}{dx}(42) =59-56\cos x.

Критические точки возможны, если $y'(x)=0$ :

59-56\cos x=0 \;\Rightarrow\; \cos x=\frac{59}{56}.

Но $\frac{59}{56}>1$ , а косинус не может быть больше 1 ни при каких $x$ . Значит, на отрезке критических точек нет.

Теперь посмотрим знак производной на всём отрезке $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$ . На этом отрезке

\cos x \in [0,1],

потому что $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$ , $\cos(0)=1$ , и косинус там неотрицателен.

Тогда минимально возможное значение производной будет при максимальном $\cos x=1$ :

y'(x)=59-56\cos x \ge 59-56\cdot 1=3>0.

Следовательно, $y'(x)$ положительна на всём отрезке, значит функция строго возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$ .

Раз функция возрастает, наибольшее значение на отрезке достигается в правом конце:

x_{\max}=0.

y(0)=59\cdot 0 -56\sin 0 + 42 = 0 - 0 + 42 = 42.

Ответ: наибольшее значение функции на $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$ равно $\boxed{42}$ (достигается при $x=0$ ).

Ответы на вопрос