Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y=x*-6x+5 и осью OX ( * - это возведения числа в

Ответы на вопрос

Отвечает Писаревский Максим.

Дана кривая

y=x^2-6x+5

(здесь $x^2$ — это то, что в условии записано как $x*$ ).

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой и осью $OX$ (то есть прямой $y=0$ ).

Пересечение с $OX$ означает $y=0$ :

x^2-6x+5=0

Решим квадратное уравнение:

x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0

Отсюда корни:

x=1 \quad \text{и} \quad x=5

Парабола $y=x^2-6x+5$ ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Проверим знак между корнями, например при $x=3$ :

y(3)=9-18+5=-4<0

Значит на отрезке $[1,5]$ график лежит ниже оси $OX$ . Тогда площадь равна интегралу от модуля, то есть можно взять с минусом:

S=\int_{1}^{5} |x^2-6x+5|\,dx = -\int_{1}^{5} (x^2-6x+5)\,dx

Или:

S=\int_{1}^{5} (-x^2+6x-5)\,dx

\int (-x^2+6x-5)\,dx = -\frac{x^3}{3}+3x^2-5x

Подставим пределы $1$ и $5$ :

S=\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2-5x\right)\Bigg|_{1}^{5}

Считаем при $x=5$ :

-\frac{125}{3}+3\cdot 25-5\cdot 5=-\frac{125}{3}+75-25=-\frac{125}{3}+50=\frac{25}{3}

Считаем при $x=1$ :

-\frac{1}{3}+3\cdot 1-5\cdot 1=-\frac{1}{3}+3-5=-\frac{1}{3}-2=-\frac{7}{3}

Теперь разность:

S=\frac{25}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{32}{3}

\boxed{S=\frac{32}{3}}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y=x-6x+5 и осью OX ( - это возведения числа в квадрат)