В треугольнике ABC известно, что AB=BC=18, угол ABC =120°, BK — биссектриса. Найдите длину BK.

Треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC=18$, а угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. $BK$ — биссектриса угла $ABC$, значит она делит угол $120^\circ$ пополам:

Обозначим $a=BC$, $c=AB$. Тогда $a=c=18$, а угол между ними $\angle B = 120^\circ$. Длина биссектрисы из вершины $B$ выражается формулой:

Подставим значения:

• $a=18$,

• $c=18$,

• $\frac{B}{2} = 60^\circ$,

• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\boxed{BK=9}$.