Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, направляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Второй поезд вышел на 1 час позднее первого со скоростью на 4 км/ч больше, чем скорость первого поезда. Найти скорость каждого поезда.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть скорость первого поезда равна $v_1$ км/ч, а скорость второго поезда — $v_2$ км/ч. Из условия задачи известно, что второй поезд выходит на 1 час позже первого и его скорость на 4 км/ч больше, чем скорость первого поезда. Таким образом, можно записать:

Также известно, что два поезда встречаются на середине пути, то есть они преодолевают расстояние 720 км и встречаются через одинаковое время. Пусть время, которое идет первый поезд, будет $t_1$ часов, а время, которое идет второй поезд, — $t_2$ часов. Поскольку второй поезд вышел на 1 час позже первого, то $t_2 = t_1 - 1$.

Теперь, используя формулы для пути $S = v \cdot t$, можем выразить пути, которые прошли оба поезда. Путь, пройденный первым поездом, равен $v_1 \cdot t_1$, а путь, пройденный вторым поездом, равен $v_2 \cdot t_2$. Поскольку поезда встречаются на середине пути, сумма их путей должна быть равна общему расстоянию 720 км:

Подставляем $v_2 = v_1 + 4$ и $t_2 = t_1 - 1$:

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

Переносим все элементы в одну сторону:

Теперь заметим, что $t_1$ можно выразить через скорость первого поезда и общее расстояние. Мы знаем, что оба поезда встречаются на середине пути, поэтому время, которое затратил первый поезд, можно выразить как $t_1 = \frac{360}{v_1}$ (поскольку они встретились на середине пути, то каждый из поездов проехал по 360 км). Подставляем это значение в уравнение:

Упростим выражение:

Сократим обе стороны на 720:

Теперь решим это уравнение. Переносим все элементы в одну сторону:

Умножим обе стороны на $v_1$