Какое число делится на 6,7,8 чтоб в остатке было 3

Нужно найти число $N$, которое при делении на $6$, $7$ и $8$ даёт один и тот же остаток $3$.

Это значит:

Удобно вычесть 3:

То есть $N-3$ должно делиться на $6$, $7$ и $8$ одновременно — значит, $N-3$ кратно их наименьшему общему кратному.

Найдём $\text{НОК}(6,7,8)$.

• $6 = 2 \cdot 3$

• $7 = 7$

• $8 = 2^3$

Берём максимальные степени простых множителей:

Значит,

где $k$ — целое число.

Самое маленькое положительное такое число при $k=1$:

Проверка:

• $171 : 6 = 28$ остаток $3$,

• $171 : 7 = 24$ остаток $3$,

• $171 : 8 = 21$ остаток $3$.

Ответ: 171 (и вообще любые числа вида $168k+3$).