Найдите наибольшее значение функции у= 13х - 13tgx - 18 на отрезке от [0; Пи / 4]

Рассмотрим функцию

Чтобы найти наибольшее значение на отрезке, удобно исследовать монотонность (по производной).

1) Производная

Так как $\sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$, получаем:

2) Знак производной на отрезке

На $\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$ функция $\tan x$ определена, и $\tan^2 x\ge 0$. Значит:

причём $y'=0$ только при $x=0$, а при $x>0$ уже $y'<0$.

Следовательно, функция не возрастает на всём отрезке и фактически убывает при $x>0$. Значит, наибольшее значение на отрезке достигается в левом конце, при $x=0$.

3) Значения на концах отрезка

• При $x=0$: $\tan 0=0$

• (Для проверки) При $x=\frac{\pi}{4}$: $\tan\frac{\pi}{4}=1$

Это меньше, чем $-18$, потому что $\frac{13\pi}{4}\approx 10.2$, и $10.2-31\approx -20.8$.

Ответ

Наибольшее значение функции на $\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$ равно

(достигается при $x=0$).