Основания трапеции равны 10 и 5, а диагонали 9 и 12. Найдите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции равны $10$ и $5$. Обозначим нижнее основание $AB=10$, верхнее $CD=5$, высоту трапеции через $h$.

1) Введём координаты

Расположим трапецию так, чтобы нижнее основание лежало на оси $x$:

• $A(0,0)$, $B(10,0)$

• верхнее основание параллельно ему на высоте $h$:
  $D(p,h)$, $C(p+5,h)$

Здесь $p$ — горизонтальный сдвиг верхнего основания относительно нижнего.

2) Запишем условия на диагонали

Диагонали: $AC$ и $BD$ равны $9$ и $12$ (неважно, какая из них какая — ниже видно, что результат одинаковый).

Тогда:

Пусть $AC=m$, $BD=n$, где $\{m,n\}=\{9,12\}$. Тогда:

Вычтем второе из первого:

Раскроем скобки:

Значит:

3) Найдём высоту

Возьмём, например, $m=9$, $n=12$:

Тогда:

(Если поменять $m$ и $n$ местами, получится другое $p$, но то же самое $h^2$, поэтому площадь всё равно выйдет та же.)

4) Площадь трапеции

Ответ: $54$.