В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=4, AD=13, AA₁=16. Найдите расстояние между вершинами B и D₁ этого параллелепипеда.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. У него три ребра, выходящие из вершины $A$, попарно перпендикулярны:

• $AB = 4$

• $AD = 13$

• $AA_1 = 16$

Нужно найти расстояние между вершинами $B$ и $D_1$, то есть длину отрезка $BD_1$.

Шаг 1. Зададим координаты

Удобно ввести прямоугольную систему координат:

• Пусть $A = (0,0,0)$

• Тогда $B$ лежит вдоль ребра $AB$: $B = (4,0,0)$

• $D$ лежит вдоль ребра $AD$: $D = (0,13,0)$

• Верхняя вершина $D_1$ получается из $D$ подъёмом на высоту $AA_1$:
  $D_1 = (0,13,16)$

Шаг 2. Найдём вектор $\overrightarrow{BD_1}$

Шаг 3. Длина вектора — это искомое расстояние

Ответ

Расстояние между вершинами $B$ и $D_1$ равно 21.