В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен 120°, а меньшая сторона прямоугольника равна 9 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где меньшая сторона $a=9$ см, а $b>a$. Диагонали пересекаются, образуя два угла: острый $\theta$ и тупой $180^\circ-\theta$. Если один из углов равен $120^\circ$, значит второй (острый) равен

Рассмотрим диагонали как направления (векторы). Если из точки пересечения диагоналей направить один вектор вдоль одной диагонали, а другой — вдоль второй, то можно взять, например:

Их скалярное произведение:

Длины одинаковы:

Тогда косинус угла $\theta$ между диагоналями:

Мы выяснили, что острый угол $\theta=60^\circ$. Подставляем:

Решаем:

При $a=9$:

Диагональ прямоугольника: