В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями 30°. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его диагонали — это векторы
$\vec d_1=(a,b)$ и $\vec d_2=(a,-b)$.

1) Используем длину диагонали.
По условию диагональ равна $12$ см, значит

2) Свяжем угол между диагоналями с площадью.
Угол между диагоналями равен $30^\circ$. Для двух векторов выполняется:

В двумерном случае модуль “векторного произведения” (псевдоскаляр) равен:

Тогда

Отсюда

3) Подставим $\theta=30^\circ$.

Поскольку площадь прямоугольника $S=ab$, получаем: