Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке M. Угол MCD равен 42 градуса. Найдите угол BMC.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$.

1) Что означает угол $\angle MCD = 42^\circ$

Точка $M$ лежит на диагонали $AC$, значит луч $CM$ — это часть диагонали $CA$.
Следовательно,

то есть диагональ $AC$ образует с стороной $CD$ угол $42^\circ$.

2) Выразим наклон сторон через $\tan 42^\circ$

Рассмотрим прямоугольник в координатах: пусть

тогда $M$ — середина, то есть $M(0,0)$.

В точке $C(a,b)$:

• сторона $CD$ идёт горизонтально влево,

• диагональ $CA$ идёт из $C$ к $A$ по вектору $(-2a,-2b)$.

Угол между диагональю и горизонталью как раз равен

значит

3) Найдём $\angle BMC$

Нас интересует угол между лучами $MB$ и $MC$.

Векторы:

Косинус угла между ними:

Подставим $t=\frac{b}{a}=\tan 42^\circ$. Тогда

Из тригонометрической формулы:

получаем при $\alpha=42^\circ$:

Значит

Ответ: ${84}^{\circ }$