Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)= x^2e^−x отрицательны]

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f(x) = x^2 e^{-x}$ отрицательна, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции:

   Функция $f(x) = x^2 e^{-x}$ является произведением двух функций: $x^2$ и $e^{-x}$. Для нахождения производной используем правило произведения:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$$

   Производные частей:

   $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$$

   Подставляем эти выражения в правило произведения:

   $$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$$

   Теперь вынесем $e^{-x}$ за скобки:

   $$f'(x) = e^{-x} (2x - x^2)$$

2. Определим, когда производная отрицательна:

   Нам нужно найти такие $x$, при которых $f'(x) < 0$. Из выражения для производной видно, что множитель $e^{-x}$ всегда положителен (так как экспонента всегда положительна для всех $x$). Следовательно, знак производной зависит только от выражения $2x - x^2$. Итак, ищем, когда:

   $$2x - x^2 < 0$$

3. Решим неравенство:

   Преобразуем его:

   $$-x^2 + 2x < 0$$

   Умножим на $-1$ (при этом знак неравенства поменяется):

   $$x^2 - 2x > 0$$

   Это неравенство можно факторизовать:

   $$x(x - 2) > 0$$

4. Решим неравенство $x(x - 2) > 0$:

   Нули данного выражения при $x = 0$ и $x = 2$. Для определения знака выражения на различных интервалах, рассмотрим следующие интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$.

   • На интервале $(-\infty, 0)$ оба множителя $x$ и $(x - 2)$ отрицательны, так что выражение положительно.

   • На интервале $(0, 2)$ $x$ положительный, а $(x - 2)$ отрицательный, так что выражение отрицательно.

   • На интервале $(2, \infty)$ оба множителя положительны, так что выражение положительно.

   Значит, неравенство $x(x - 2) > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$.

5. Ответ:

   Производная функции $f(x) = x^2 e^{-x}$ отрицательна на интервале $(0, 2)$.