В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AC = 4, cos A = 4√65/65. Найти длину BC.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, то есть это прямоугольный треугольник. Нам даны следующие данные:

• AC = 4

• cos A = $\frac{4\sqrt{65}}{65}$

Нужно найти длину BC.

Для начала вспомним, что в прямоугольном треугольнике косинус угла A равен отношению длины прилежащего катета к гипотенузе. То есть:

Подставим значение косинуса угла A:

Известно, что $AC = 4$, поэтому у нас получается:

Теперь найдем длину гипотенузы AB. Умножим обе части уравнения на AB и получим:

Разделим обе части на 4:

Теперь умножим обе части на 65:

И разделим обе части на $\sqrt{65}$:

Теперь мы знаем длину гипотенузы AB, которая равна $\sqrt{65}$.

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

Подставим известные значения:

Теперь найдем $BC^2$:

Извлекаем квадратный корень:

Таким образом, длина BC равна 7.