Всхожесть гороха составляет 80%. Какова вероятность, что среди 200 замоченных горошин прорастёт от 150 до 175 семян?

Для того чтобы решить эту задачу, можно использовать биномиальное распределение. У нас есть 200 горошин, и вероятность того, что одна из них прорастет, составляет 80% (или 0.8). Необходимо найти вероятность того, что количество проросших семян будет между 150 и 175.

Биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением, если количество испытаний (в данном случае 200) достаточно большое, что и происходит в нашей задаче.

1. Параметры биномиального распределения:

   • Число испытаний (N) = 200

   • Вероятность успеха (p) = 0.8

2. Ожидаемое значение и стандартное отклонение:
   Ожидаемое количество проросших семян (математическое ожидание) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

   $$E(X) = N \times p = 200 \times 0.8 = 160$$

   Стандартное отклонение для биномиального распределения можно найти по формуле:

   $$\sigma = \sqrt{N \times p \times (1 - p)} = \sqrt{200 \times 0.8 \times 0.2} \approx \sqrt{32} \approx 5.66$$

3. Аппроксимация нормальным распределением:
   Мы можем использовать нормальное распределение с теми же параметрами:

   • Среднее (μ) = 160

   • Стандартное отклонение (σ) ≈ 5.66

   Нам нужно найти вероятность того, что количество проросших семян будет между 150 и 175. Для этого переведем эти значения в стандартные нормализованные переменные (z):

   Для 150:

   $$z = \frac{150 - 160}{5.66} \approx \frac{-10}{5.66} \approx -1.77$$

   Для 175:

   $$z = \frac{175 - 160}{5.66} \approx \frac{15}{5.66} \approx 2.65$$

4. Использование таблицы стандартного нормального распределения:
   Теперь нужно найти вероятность для этих значений z:

   • Для $z = -1.77$ вероятность (P(Z < -1.77)) ≈ 0.0384.

   • Для $z = 2.65$ вероятность (P(Z < 2.65)) ≈ 0.996.

5. Итоговая вероятность:
   Чтобы найти вероятность того, что количество проросших семян будет между 150 и 175, нужно вычесть вероятность для $z = -1.77$ из вероятности для $z = 2.65$:

   $$P(150 < X < 175) = P(Z < 2.65) - P(Z < -1.77) \approx 0.996 - 0.0384 = 0.9576.$$

Таким образом, вероятность того, что среди 200 замоченных горошин прорастёт от 150 до 175 семян, составляет примерно 0.9576, или 95.76%.