Докажите, что если n — натуральное число, то n² - n — чётное.

Докажем, что для любого натурального числа $n$, выражение $n^2 - n$ всегда чётное.

1. Рассмотрим два случая: когда $n$ чётное и когда $n$ нечётное.

Случай 1: $n$ — чётное число.

Пусть $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда:

Так как $2k^2 - k$ — целое число, мы видим, что $n^2 - n$ делится на 2, то есть является чётным числом.

Случай 2: $n$ — нечётное число.

Пусть $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда:

Вынесем 2 за скобки:

Так как $2k^2 + k$ — целое число, мы видим, что $n^2 - n$ делится на 2, а значит, является чётным числом.

Заключение:

В обоих случаях — и когда $n$ чётное, и когда $n$ нечётное — выражение $n^2 - n$ является чётным числом. Следовательно, для любого натурального числа $n$ верно, что $n^2 - n$ чётное.