Даны точки A(-2; 0), B(2; 2), С(4; -2), D(0; -4). Найдите координаты и длину вектора a = AB + 3AD - 1/2 CA, а также разложите вектор a по координатным векторам i и j.

Для начала найдем координаты векторов $\mathbf{AB}$, $\mathbf{AD}$, и $\mathbf{CA}$.

1. Вектор $\mathbf{AB}$ — это разность координат точек $B$ и $A$:

   $$\mathbf{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - (-2), 2 - 0) = (4, 2)$$

2. Вектор $\mathbf{AD}$ — это разность координат точек $D$ и $A$:

   $$\mathbf{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (0 - (-2), -4 - 0) = (2, -4)$$

3. Вектор $\mathbf{CA}$ — это разность координат точек $A$ и $C$:

   $$\mathbf{CA} = (x_A - x_C, y_A - y_C) = (-2 - 4, 0 - (-2)) = (-6, 2)$$

Теперь вычислим вектор $\mathbf{a} = \mathbf{AB} + 3\mathbf{AD} - \frac{1}{2} \mathbf{CA}$:

1. Умножим вектор $\mathbf{AD}$ на 3:

   $$3\mathbf{AD} = 3 \times (2, -4) = (6, -12)$$

2. Умножим вектор $\mathbf{CA}$ на $-\frac{1}{2}$:

   $$-\frac{1}{2} \mathbf{CA} = -\frac{1}{2} \times (-6, 2) = (3, -1)$$

Теперь сложим все векторы:

Таким образом, координаты вектора $\mathbf{a}$ равны $(13, -11)$.

Теперь найдем длину вектора $\mathbf{a}$:

Длина вектора $\mathbf{a}$ равна $\sqrt{290}$.

Разложим вектор $\mathbf{a} = (13, -11)$ по координатным векторам $\mathbf{i} = (1, 0)$ и $\mathbf{j} = (0, 1)$:

Ответ:

• Координаты вектора $\mathbf{a}$: $(13, -11)$

• Длина вектора $\mathbf{a}$: $\sqrt{290}$

• Разложение вектора по координатным векторам: $13\mathbf{i} - 11\mathbf{j}$