Найдите последнюю цифру числа 2015^2015 - 2014^2014 - 2013^2013.

Для того чтобы найти последнюю цифру числа $2015^{2015} - 2014^{2014} - 2013^{2013}$, мы будем использовать свойства чисел и модуль арифметики, особенно операцию взятия по модулю 10, которая позволяет найти последнюю цифру числа.

Шаг 1: Определим последнюю цифру $2015^{2015}$

Последняя цифра числа 2015 — это 5. Следовательно, последняя цифра числа $2015^{2015}$ будет аналогична последней цифре числа $5^{2015}$. Возведем 5 в любую степень — последняя цифра всегда будет 5. Таким образом, последняя цифра $2015^{2015}$ равна 5.

Шаг 2: Определим последнюю цифру $2014^{2014}$

Последняя цифра числа 2014 — это 4. Нам нужно найти последнюю цифру числа $4^{2014}$. Периодичность последней цифры степеней числа 4 такова:

• $4^1 = 4$ (последняя цифра 4)

• $4^2 = 16$ (последняя цифра 6)

• $4^3 = 64$ (последняя цифра 4)

• $4^4 = 256$ (последняя цифра 6)

Таким образом, последняя цифра степеней числа 4 чередуется между 4 и 6, начиная с $4^1$. Так как $2014$ четное, последняя цифра $4^{2014}$ будет 6.

Шаг 3: Определим последнюю цифру $2013^{2013}$

Последняя цифра числа 2013 — это 3. Нам нужно найти последнюю цифру числа $3^{2013}$. Периодичность последней цифры степеней числа 3 такова:

• $3^1 = 3$ (последняя цифра 3)

• $3^2 = 9$ (последняя цифра 9)

• $3^3 = 27$ (последняя цифра 7)

• $3^4 = 81$ (последняя цифра 1)

Цикл повторяется каждые 4 степени: 3, 9, 7, 1. Чтобы узнать последнюю цифру $3^{2013}$, найдем остаток от деления 2013 на 4. $2013 \div 4 = 503$ (остаток 1). Следовательно, последняя цифра $3^{2013}$ будет равна последней цифре $3^1$, то есть 3.

Шаг 4: Считаем последнюю цифру выражения

Теперь можем вычислить последнюю цифру выражения $2015^{2015} - 2014^{2014} - 2013^{2013}$. Используем найденные последнюю цифру для каждого числа:

• Последняя цифра $2015^{2015}$ — это 5.

• Последняя цифра $2014^{2014}$ — это 6.

• Последняя цифра $2013^{2013}$ — это 3.

Вычитаем последнюю цифру каждого числа:

Поскольку последняя цифра всегда положительная, мы прибавляем 10 (чтобы избавиться от отрицательного числа):

Таким образом, последняя цифра числа $2015^{2015} - 2014^{2014} - 2013^{2013}$ равна 3.