На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру, и написали на доске некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2014 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 1? (В ответе запиши да или нет.)

Да.

Для того чтобы ответить на вопрос, рассмотрим, что происходит с числом в процессе игры. На каждом шаге можно либо стереть последнюю цифру, либо прибавить 2014 к текущему числу. Рассмотрим пример на числе $n$, которое изначально записано на доске.

1. Если стереть последнюю цифру, то число становится меньше на один порядок, то есть мы получаем число $n // 10$, где $//$ — операция целочисленного деления.

2. Если прибавить 2014, то мы получаем число $n + 2014$.

Важно заметить, что операция прибавления 2014 на каждом шаге изменяет число, но сохраняет определённую структуру в отношении остатка от деления на 2014.

Таким образом, можно воспользоваться принципом математической индукции или рассматривать процесс как рекурсивное преобразование, при котором с каждым шагом вероятность того, что в какой-то момент число станет 1, возрастает. Это возможно, так как добавление 2014 и удаление цифр позволяет пройти через множество возможных чисел, и в какой-то момент можно получить 1.

Таким образом, ответ — да, при каком-то исходе число 1 может появиться на доске.