Решите уравнение sin2x - cosx = 2sinx - 1

Для того чтобы решить уравнение $\sin(2x) - \cos(x) = 2\sin(x) - 1$, начнём с преобразования и упрощения выражений.

1. Используем формулу удвоенного угла для синуса:

   $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$

   Тогда уравнение становится:

   $$2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 2\sin(x) - 1$$

2. Теперь можно выделить общий множитель $\cos(x)$ в левой части:

   $$\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 2\sin(x) - 1$$

3. Рассмотрим два случая:

   • Случай 1: $2\sin(x) - 1 = 0$

     $$2\sin(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin(x) = \frac{1}{2}$$

     Это даёт решение $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   • Случай 2: $2\sin(x) - 1 \neq 0$, тогда можно разделить обе части уравнения на $2\sin(x) - 1$ (при условии, что оно не равно нулю):

     $$\cos(x) = 1$$

     Это даёт решение $x = 2k\pi$, где $k$ — целое число.

4. Подытожим решения:

   • Из первого случая $\sin(x) = \frac{1}{2}$ получаем:

     $$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

   • Из второго случая $\cos(x) = 1$ получаем:

     $$x = 2k\pi$$

Таким образом, общее решение уравнения: