Запишите уравнение касательной и его график f(x)=x³-3x+5, xo=-2

Для нахождения уравнения касательной к функции $f(x) = x^3 - 3x + 5$ в точке $x_0 = -2$ нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

   Подставим $x_0 = -2$ в уравнение функции:

   $$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$$

   Таким образом, точка касания будет $(-2, 3)$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$:

   Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 - 3x + 5$, применяем стандартные правила дифференцирования:

   $$f'(x) = 3x^2 - 3$$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

   Подставим $x_0 = -2$ в производную:

   $$f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9$$

   Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = -2$ равен 9.

4. Запишем уравнение касательной:

   Уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид:

   $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

   Подставим $x_0 = -2$, $f(x_0) = 3$ и $f'(x_0) = 9$:

   $$y - 3 = 9(x + 2)$$

   Упростим это уравнение:

   $$y - 3 = 9x + 18$$ $$y = 9x + 21$$

   Таким образом, уравнение касательной: $y = 9x + 21$.

5. График касательной:

   График функции $f(x) = x^3 - 3x + 5$ представляет собой кривую, а график касательной $y = 9x + 21$ — прямую линию, которая касается этой кривой в точке $(-2, 3)$. На графике будет видно, как касательная касается кривой в этой точке, не пересекаясь с ней в окрестности.