Определить, является ли последовательность ограниченной сверху или снизу?

Чтобы определить, ограничена ли числовая последовательность сверху или снизу, нужно понимать, что именно требуется доказать (или опровергнуть) и какими приёмами это обычно делается.

1) Определения

Пусть дана последовательность $\{a_n\}$.

Ограниченность сверху

Последовательность ограничена сверху, если существует такое число $M$, что для всех $n$:

Число $M$ называют верхней гранью (мажорантой).

Ограниченность снизу

Последовательность ограничена снизу, если существует такое число $m$, что для всех $n$:

Число $m$ называют нижней гранью (минорантой).

Ограниченность (двусторонняя)

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то она просто ограничена:

2) Как practically “определять” ограниченность

Задача “определить” обычно означает: найти явную грань или доказать, что грани не существует.

Шаг A. Посмотреть на формулу $a_n$ и оценить её

Чаще всего последовательность задают формулой. Тогда пытаются:

• упростить выражение;

• воспользоваться известными неравенствами;

• выделить “опасный” кусок, который может расти без ограничений.

Типичные полезные факты:

• $\sin x, \cos x \in [-1,1]$ ⇒ выражения с синусом/косинусом часто ограничены.

• $|a_n| \le C$ ⇒ автоматически $-C \le a_n \le C$ (двусторонняя ограниченность).

• Если $a_n = \frac{p(n)}{q(n)}$ (рациональная функция), то сравнивают степени многочленов.

• Если есть $\sqrt{\cdot}$, логарифм, экспонента — проверяют область определения и рост.

Шаг B. Проверить, не уходит ли последовательность в $+\infty$ или $-\infty$

Если можно показать, что

• $a_n \to +\infty$ (или просто $a_n$ становится сколь угодно большим),
  то нет верхней грани ⇒ не ограничена сверху.
  Если

• $a_n \to -\infty$,
  то нет нижней грани ⇒ не ограничена снизу.

Достаточно даже без предела: если удаётся доказать, что для любого $M$ найдётся $n$ с $a_n > M$, то сверху не ограничена.

Шаг C. Если последовательность монотонна, задача упрощается

Если известно, что $\{a_n\}$ монотонна:

• возрастает и имеет верхнюю грань ⇒ ограничена сверху (и часто стремится к супремуму);

• убывает и имеет нижнюю грань ⇒ ограничена снизу.

Но важно: монотонность сама по себе не даёт ограниченности (например, $a_n=n$ монотонно возрастает, но не ограничена сверху).

Шаг D. Часто удобнее искать грань через сравнение

Если удаётся найти простую последовательность $b_n$, для которой легко видно ограничение, и доказать:

и при этом $b_n \le M$, то $a_n \le M$ — готово.

Аналогично снизу.

3) Как формулировать итоговый ответ

В ответе нужно чётко сказать одно из четырёх:

1. Ограничена сверху: привести число $M$ и показать, что $a_n \le M$ для всех $n$.

2. Ограничена снизу: привести число $m$ и показать, что $a_n \ge m$ для всех $n$.

3. Ограничена с двух сторон: привести $m$ и $M$ и доказать двойное неравенство.

4. Не ограничена сверху/снизу: показать, что для любой предполагаемой грани найдутся члены, которые её нарушают (или доказать уход в $+\infty$/$-\infty$).

4) Мини-шаблоны доказательств

Чтобы доказать ограниченность сверху

“Найдём $M$. Покажем, что $\forall n$ выполняется $a_n \le M$. Тогда по определению последовательность ограничена сверху.”

Чтобы доказать неограниченность сверху

“Пусть $M$ — любое число. Покажем, что существует $n$, такое что $a_n > M$. Следовательно, верхней грани не существует, значит последовательность не ограничена сверху.”

Аналогично для снизу

Заменить $\le$ на $\ge$ и $>$ на $<$.

Итого: чтобы определить ограниченность последовательности сверху или снизу, нужно либо найти константу-грань и доказать соответствующее неравенство для всех $n$, либо доказать невозможность такой грани (например, показывая, что значения становятся сколь угодно большими или малыми).