Каковы должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?

Для того чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при заданном периметре, его стороны должны быть равны. То есть, прямоугольник должен быть квадратом.

Давайте разберемся почему.

1. Периметр прямоугольника равен 120 м, и для прямоугольника с длиной сторон $a$ и $b$ периметр можно выразить как:

   $$P = 2a + 2b = 120$$

   Отсюда получаем:

   $$a + b = 60$$

   То есть, сумма длин сторон прямоугольника равна 60 метрам.

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

   $$S = a \cdot b$$

   Чтобы максимизировать площадь при ограничении на периметр, нужно использовать метод подстановки.

3. Из уравнения $a + b = 60$ можно выразить одну сторону через другую:

   $$b = 60 - a$$

   Подставим это в формулу для площади:

   $$S(a) = a \cdot (60 - a) = 60a - a^2$$

   Это выражение для площади является квадратичной функцией. Чтобы найти, при каком значении $a$ площадь максимальна, нужно найти вершину параболы. Вершина квадратичной функции $S(a) = -a^2 + 60a$ находится в точке:

   $$a = \frac{-60}{2(-1)} = 30$$

   Таким образом, сторона квадрата $a = 30$ м, и поскольку $a = b$, вторая сторона тоже будет равна 30 м.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть по 30 м, чтобы площадь была наибольшей.