Найдите все значения \( a \), при каждом из которых неравенство \( (a+4)x^2 - 2ax + 2a - 6 < 0 \) выполняется при любых действительных \( x \).

Для решения задачи необходимо найти все значения $a$, при которых неравенство

выполняется для любых действительных $x$.

Рассмотрим это неравенство как квадратичное выражение относительно переменной $x$:

Шаг 1: Квадратичное неравенство

Это неравенство имеет вид:

где:

• $A = a + 4$,

• $B = -2a$,

• $C = 2a - 6$.

Чтобы неравенство $f(x) < 0$ выполнялось при любых значениях $x$, необходимо, чтобы парабола $f(x)$ не пересекала ось абсцисс. Это возможно только в случае, если парабола всегда направлена вниз и не имеет действительных корней.

Шаг 2: Условия на коэффициенты

1. Парабола направлена вниз: Чтобы парабола была направлена вниз, необходимо, чтобы $A = a + 4$ было отрицательным:

2. Отсутствие действительных корней: Чтобы парабола не имела действительных корней, её дискриминант должен быть отрицательным. Дискриминант квадратичного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ равен:

Подставим значения $A$, $B$ и $C$:

Преобразуем:

Раскроем скобки в выражении:

Упростим:

Теперь требуем, чтобы дискриминант был отрицательным:

Умножим обе части неравенства на -1 (не меняется знак неравенства):

Решим это неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Разделим на 4:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Неравенство $4a^2 + 8a - 96 > 0$ выполняется для $a < -6$ или $a > 4$.

Шаг 3: Объединение условий

Мы уже знаем, что для того, чтобы парабола была направлена вниз, необходимо, чтобы $a < -4$