Найдите все решения уравнения \( 3\tan^2 x - 1 = 0 \), принадлежащие промежутку \([0; \pi]\).

Для того чтобы решить уравнение $3\tan^2 x - 1 = 0$ на промежутке $[0; \pi]$, давайте поэтапно разберем его решение.

1. Переносим числа:

   Исходное уравнение:

   $$3\tan^2 x - 1 = 0$$

   Прибавим 1 к обеим частям:

   $$3\tan^2 x = 1$$

2. Делим на 3:

   $$\tan^2 x = \frac{1}{3}$$

3. Извлекаем квадратный корень:

   $$\tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Таким образом, мы получили два возможных значения для $\tan x$:

   $$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

4. Нахождение значений $x$:

   Известно, что $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ при $x = \frac{\pi}{6}$. Для второго случая $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, это значение встречается при $x = \frac{5\pi}{6}$, так как на промежутке $[0; \pi]$ тангенс принимает отрицательные значения в третьей четверти (между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$).

5. Ответ:

   Таким образом, решения уравнения на промежутке $[0; \pi]$ следующие:

   $$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}.$$