При каких a уравнение 2lg(1+x) = lg(ax) имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

Сначала учтём область определения логарифмов:

То есть

Преобразуем левую часть:

Тогда уравнение принимает вид

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

Раскроем скобки:

Но удобнее выразить параметр $a$:

Так как $x\neq 0$, получаем функцию

где

Теперь исследуем количество решений.

1. При $x>0$

Рассмотрим

Для $x>0$ по неравенству

имеем

Причём $a=4$ достигается только при

Значит:

• при $a<4$ положительных решений нет;

• при $a=4$ есть ровно одно положительное решение;

• при $a>4$ есть два положительных решения.

2. При $-1$

Здесь функция

убывает на промежутке $(-1;0)$.

Посмотрим на её значения на концах промежутка:

но значение $0$ не достигается, потому что $x=-1$ не входит в область определения.

А при

имеем

значит

Следовательно, на промежутке $(-1;0)$ функция принимает все значения

и каждое ровно один раз.

Значит при $a<0$ есть ровно одно решение.

Итого

Единственное решение получается в двух случаях:

и

Ответ: