Решить уравнение: 1/2lg(x² + x - 5) = lg(5x) + lg(1/(5x))

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Дано уравнение:

1. Работаем с правой частью уравнения.

Используем свойство логарифмов, что $\lg a + \lg b = \lg(ab)$. Это позволяет упростить правую часть уравнения:

Так как $\lg(1) = 0$, правая часть уравнения равна 0.

Теперь у нас уравнение:

2. Решаем уравнение относительно логарифма.

Чтобы избавиться от множителя $\frac{1}{2}$, умножим обе стороны уравнения на 2:

3. Решаем логарифмическое уравнение.

Логарифм равен 0, если его аргумент равен 1. То есть:

4. Преобразуем уравнение.

Преобразуем его в стандартный вид:

5. Решаем квадратное уравнение.

Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен:

В нашем случае $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$. Подставим в формулу:

Теперь найдем корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

6. Проверяем решение.

Нам нужно проверить, не нарушают ли полученные значения условия существования логарифмов. Логарифм существует только для положительных аргументов, поэтому проверим, что будет с аргументами логарифмов для $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$:

• Для $x = 2$:

  • $x^2 + x - 5 = 2^2 + 2 - 5 = 4 + 2 - 5 = 1$, логарифм существует.

  • $5x = 5 \cdot 2 = 10$, логарифм существует.

• Для $x = -3$:

  • $x^2 + x - 5 = (-3)^2 + (-3) - 5 = 9 - 3 - 5 = 1$