(sqrt(2)*cos²x - cosx)*sqrt(-6sinx) = 0 а) Решите уравнение б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [5π/2; 4π)

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Дано уравнение:

1. Рассмотрим первую часть уравнения: $\sqrt{2} \cdot \cos^2 x - \cos x$

Это выражение равно нулю, если:

Переносим $\cos x$ в одну сторону:

Это уравнение выполняется, если:

1. $\cos x = 0$

2. $\sqrt{2} \cdot \cos x - 1 = 0$, т.е. $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

2. Рассмотрим вторую часть уравнения: $\sqrt{-6 \sin x}$

Это выражение имеет смысл только тогда, когда $-6 \sin x \geq 0$, что означает $\sin x \leq 0$.

Таким образом, мы также должны учитывать, что $\sin x \leq 0$, и это ограничение накладывает дополнительные условия на возможные значения $x$.

3. Найдем корни из двух условий

Условие 1: $\cos x = 0$

$\cos x = 0$ при:

Рассмотрим эти корни на интервале $[ \frac{5\pi}{2}, 4\pi )$:

• При $k = 2$ получаем $x = \frac{5\pi}{2}$ (не входит в интервал).

• При $k = 3$ получаем $x = \frac{7\pi}{2}$ (это входит в интервал).

Таким образом, $x = \frac{7\pi}{2}$ — это корень уравнения из условия $\cos x = 0$.

Условие 2: $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ при:

Рассмотрим эти корни на интервале $[ \frac{5\pi}{2}, 4\pi )$:

• При $k = 2$ получаем $x = \frac{9\pi}{4}$ (это входит в интервал).

• При $k = 3$ получаем $x = \frac{13\pi}{4}$ (это не входит в интервал).

Таким образом, $x = \frac{9\pi}{4}$ — это корень уравнения из условия $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. Учитываем условие $\sin x \leq 0$

Мы должны выбрать только те значения $x$, для которых $\sin x \leq 0$. Это ограничение накладывает следующие ограничения на возможные