Решите уравнение cos(π/3 - 2x) = 1/2. Найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку [-π/2; 3π/2]; в) наиболее отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу (-π; π/2).

Для решения уравнения $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{1}{2}$ нужно вспомнить, что косинус равен $\frac{1}{2}$ для углов $\pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

1. Решим уравнение:

Исходное уравнение:

Решение косинуса $\frac{1}{2}$ даёт:

где $k$ — целое число. Теперь решим два случая.

Случай 1:

В данном случае, $\frac{\pi}{3}$ сокращается, и остаётся:

Случай 2:

В этом случае:

Итак, общие решения для $x$:

Ответим на вопросы:

а) Наименьший положительный корень:

Из решений $x = -k\pi$ и $x = \frac{\pi}{3} - k\pi$, наименьший положительный корень — это $x = \frac{\pi}{3}$, когда $k = 0$.

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-\pi/2; 3\pi/2]$:

Для $x = -k\pi$ и $x = \frac{\pi}{3} - k\pi$ на отрезке $[-\pi/2; 3\pi/2]$ проверим несколько значений $k$.

Для $x = -k\pi$:

• При $k = 0$, $x = 0$.

• При $k = 1$, $x = -\pi$ (принадлежит отрезку).

• При $k = -1$, $x = \pi$ (принадлежит отрезку).

Для $x = \frac{\pi}{3} - k\pi$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$ (принадлежит отрезку).

• При $k = 1$, $x = -\frac{2\pi}{3}$ (принадлежит отрезку).

• При $k = -1$, $x = \frac{4\pi}{3}$ (принадлежит отрезку).

Таким образом, корни на отрезке $[-\pi/2; 3\pi/2]$: