Решите уравнение: х³ - 6х² + 12х - 8 = 0

Для решения уравнения $x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0$, можно использовать метод подбора корней или разложение на множители.

1. Пробуем найти корни методом подбора.
   Посмотрим на возможные значения $x$. Пробуем подставить простые значения $x$, например, 1, 2, 3 и т.д.

   Подставим $x = 2$:

   $$2^3 - 6 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0$$

   Значит, $x = 2$ является корнем уравнения.

2. Разделим многочлен на $x - 2$ с помощью деления многочлена.
   Мы знаем, что $x = 2$ является корнем, и теперь нужно разделить $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ на $x - 2$.

   Используем деление многочленов:

   Разделим $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ на $x - 2$.

   • $x^3 : x = x^2$.

   • $x^2 \cdot (x - 2) = x^3 - 2x^2$.

   • Вычитаем из $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ $x^3 - 2x^2$:

     $$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 12x - 8.$$

   • $-4x^2 : x = -4x$.

   • $-4x \cdot (x - 2) = -4x^2 + 8x$.

   • Вычитаем:

     $$(-4x^2 + 12x - 8) - (-4x^2 + 8x) = 4x - 8.$$

   • $4x : x = 4$.

   • $4 \cdot (x - 2) = 4x - 8$.

   • Вычитаем:

     $$(4x - 8) - (4x - 8) = 0.$$

   Оставшийся результат деления: $x^2 - 4x + 4$.

3. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$.

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}.$$

   Считаем:

   $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2}.$$

   Таким образом, $x = 2$.

4. Итоговое решение.

   Мы нашли, что у уравнения $x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0$ один корень с кратностью 3 — это $x = 2$.

Ответ: $x = 2$ (кратность 3).