Решите уравнение lg(x+4) - lg(x-3) = lg8

Чтобы решить уравнение $\lg(x+4) - \lg(x-3) = \lg 8$, используем свойства логарифмов.

1. Используем свойство разности логарифмов:

   $$\lg a - \lg b = \lg \left(\frac{a}{b}\right)$$

   Таким образом, уравнение преобразуется в:

   $$\lg \left( \frac{x+4}{x-3} \right) = \lg 8$$

2. Поскольку логарифмы с одинаковым основанием (в данном случае логарифмы по основанию 10) равны, если их аргументы равны, получаем:

   $$\frac{x+4}{x-3} = 8$$

3. Теперь решим это рациональное уравнение. Умножим обе части на $x - 3$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$x + 4 = 8(x - 3)$$

4. Раскроем скобки:

   $$x + 4 = 8x - 24$$

5. Переносим все выражения с $x$ в одну сторону, а числовые — в другую:

   $$x - 8x = -24 - 4$$ $$-7x = -28$$

6. Разделим обе части на -7:

   $$x = 4$$

7. Теперь проверим, не нарушает ли решение ограничения для логарифмов. Аргументы логарифмов $x + 4$ и $x - 3$ должны быть положительными:

   • $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$,

   • $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.

   Наше решение $x = 4$ удовлетворяет этим условиям, поэтому оно является допустимым.

Ответ: $x = 4$.