Решить уравнение: cos²x - cos2x = 0,75 и найти все корни, принадлежащие промежутку [-2π; -π/2].

Для решения уравнения $\cos^2x - \cos(2x) = 0,75$, сначала воспользуемся тригонометрической формулой для $\cos(2x)$:

Подставим это выражение в исходное уравнение:

Упростим уравнение:

Теперь перенесем 0,75 на левую сторону:

Умножим обе части уравнения на -1:

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

Теперь необходимо найти значения $x$, для которых $\cosx = 0,5$ и $\cosx = -0,5$, и ограничиться промежутком $[-2\pi; -\pi/2]$.

1. Для $\cosx = 0,5$:

Корни этого уравнения на промежутке $[-2\pi; -\pi/2]$ будут следующие:

• $x = -\frac{\pi}{3}$

2. Для $\cosx = -0,5$:

Корни этого уравнения на том же промежутке:

• $x = -\frac{2\pi}{3}$

• $x = -\frac{4\pi}{3}$

Таким образом, все корни уравнения на интервале $[-2\pi; -\pi/2]$ следующие: