Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, в записи которых есть ровно две одинаковые цифры?

Рассмотрим любое натуральное трёхзначное число в виде $abc$, где

• $a$ — сотни, $a \in \{1,2,\dots,9\}$ (ноль в начале нельзя),

• $b$ и $c$ — десятки и единицы, $b,c \in \{0,1,\dots,9\}$.

Нужно посчитать числа, в которых ровно две цифры одинаковые, то есть встречается одна пара, а третья цифра отличается. Это значит, что возможны ровно три варианта расположения одинаковых цифр:

1) $a=b\neq c$

• Выбираем цифру $a=b$: 9 вариантов (от 1 до 9).

• Выбираем цифру $c$, отличную от $a$: из 10 цифр нельзя взять одну, значит $10-1=9$ вариантов.

Итого: $9\cdot 9=81$.

2) $a=c\neq b$

Полностью аналогично:

• $a=c$: 9 вариантов (1–9),

• $b\neq a$: 9 вариантов.

Итого: $9\cdot 9=81$.

3) $b=c\neq a$

Здесь одинаковая цифра стоит в десятках и единицах.

• Выбираем цифру $b=c=d$: 10 вариантов (0–9).

• Выбираем $a$ (сотни), причём $a\neq d$ и $a\in\{1,\dots,9\}$.

Разберём по $d$:

• Если $d=0$, то $a$ может быть любой из 1–9: 9 вариантов.

• Если $d\in\{1,\dots,9\}$, то $a$ может быть любая из 1–9, кроме $d$: $8$ вариантов. Таких $d$ — 9 штук.

Итого: $9 + 9\cdot 8 = 9 + 72 = 81$.

Складываем все случаи

Все три случая не пересекаются (в каждом явно указано, что третья цифра отличается), поэтому просто суммируем:

Ответ: $243$ натуральных трёхзначных числа.