На двух полках находится 110 книг. Если со второй полки переставить половину книг на первую, то на первой окажется в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Пусть на первой полке изначально было $x$ книг, а на второй полке — $y$ книг. Из условия задачи известно, что:

1. Сумма всех книг на двух полках составляет 110, то есть:

   $$x + y = 110$$

2. Если с второй полки переставить половину книг на первую, то на первой полке окажется в 4 раза больше книг, чем останется на второй. То есть, после перестановки на первой полке будет $x + \frac{y}{2}$ книг, а на второй — $\frac{y}{2}$. И по условию задачи:

   $$x + \frac{y}{2} = 4 \times \frac{y}{2}$$

   Упростим это уравнение:

   $$x + \frac{y}{2} = 2y$$ $$x = 2y - \frac{y}{2}$$ $$x = \frac{4y}{2} - \frac{y}{2}$$ $$x = \frac{3y}{2}$$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $x + y = 110$

2. $x = \frac{3y}{2}$

Подставим $x = \frac{3y}{2}$ в первое уравнение:

Приведем к общему знаменателю:

Умножим обе стороны на 2:

Разделим на 5:

Теперь, зная $y = 44$, подставим это значение в уравнение $x = \frac{3y}{2}$:

Таким образом, на первой полке изначально было 66 книг, а на второй — 44 книги.