В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12, а противолежащий угол равен 45°. Найти площадь треугольника.

Дан прямоугольный треугольник. Один из катетов равен 12, и угол, лежащий напротив этого катета, равен $45^\circ$.

1. Определим вид треугольника по углам.
   В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Два оставшихся угла — острые — в сумме дают $90^\circ$.
   Если один из острых углов равен $45^\circ$, то второй тоже равен:

Значит, треугольник — равнобедренный прямоугольный (углы $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$).

2. Связь сторон в таком треугольнике.
   В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны.
   Нам дан катет $12$, следовательно, второй катет тоже равен $12$.

3. Найдём площадь.
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Подставляем $a=12$ и $b=12$:

Ответ: $72$.