Что больше: сумма кубов катетов или куб гипотенузы в прямоугольном треугольнике и почему?

В прямоугольном треугольнике больше куб гипотенузы, чем сумма кубов катетов.

Пусть катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Тогда по теореме Пифагора:

Нужно сравнить:

Так как $c=\sqrt{a^2+b^2}$, то

Теперь покажем, что

для любых положительных $a$ и $b$.

Можно рассуждать так. Возведём обе части в квадрат:

а

Раскроем куб суммы:

Сравним:

Вынесем общий множитель:

Так как $a>0$, $b>0$, то $a^2b^2>0$.
Остаётся посмотреть на выражение:

Оно всегда положительно, потому что $a^2+b^2 \ge 2ab$, значит

и тогда

Следовательно,

а значит

Итак, куб гипотенузы всегда больше суммы кубов катетов.

Для наглядности можно взять треугольник $3$, $4$, $5$:

Получаем:

Почему так происходит по смыслу: гипотенуза уже сама по себе больше каждого катета, а при возведении в куб разница между длинами усиливается ещё сильнее. Поэтому выигрыш гипотенузы становится достаточным, чтобы её куб оказался больш