1. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии (Xn) равна 56. Известно, что все члены этой прогрессии натуральные числа и член X12 больше 67, но меньше 74. Найти X20. 2. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма кубов всех членов в 4 раза больше суммы всех членов, а сумма квадратов всех членов в √7 раз больше суммы всех членов.

1. Для решения задачи об арифметической прогрессии, пусть первый член прогрессии — это $X_1 = a$, а разность прогрессии — это $d$. Сумма первых четырех членов прогрессии:

Из условия задачи сумма первых четырех членов равна 56, то есть:

Сократим это уравнение на 2:

Теперь давайте рассмотрим, что $X_{12}$ больше 67, но меньше 74. Сформулируем для $X_{12}$ следующее выражение:

Из условия задачи:

Нужно решить систему из уравнений (1) и (2).

1. Из уравнения (1) выражаем $a$:

Подставим это в неравенство (2):

Приведем подобные и решим неравенство для $d$:

Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

Вычитаем 28 из всех частей:

Теперь делим на 19:

Получаем:

Таким образом, $d = 6$ (поскольку $d$ — натуральное число).

Теперь, зная $d = 6$, подставляем это значение в уравнение (1):

Теперь находим $X_{20}$:

Ответ: $X_{20} = 119$.

2. Рассмотрим задачу о геометрической прогрессии. Пусть первый член прогрессии $a$, а знаменатель прогрессии $q$. Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Из условия задачи сумма кубов всех членов в 4 раза больше суммы всех членов:

Упростим это выражение:

Преобразуем:

И из второго условия, что сумма квадратов всех членов в $\sqrt{7}$ раз больше суммы всех членов: