3) Числовая последовательность задана рекуррентной формулой \( a_{n+1} = 2a_n - 1 \) и условием \( a_1 = 3 \). Найдите четыре первых члена этой последовательности. 4) Сумма 3-го и 7-го членов арифметической прогрессии равна -12. Найдите сумму первых девяти членов этой прогрессии.

3) Числовая последовательность задана рекуррентной формулой $a_{n+1} = 2a_n - 1$ и условием $a_1 = 3$. Найдите четыре первых члена этой последовательности.

Давайте найдем первые четыре члена последовательности.

1. Из условия знаем, что $a_1 = 3$.

2. Теперь используем рекуррентную формулу для нахождения $a_2$:

   $$a_2 = 2a_1 - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$$

3. Для $a_3$:

   $$a_3 = 2a_2 - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$$

4. Для $a_4$:

   $$a_4 = 2a_3 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 18 - 1 = 17$$

Таким образом, четыре первых члена последовательности: $3, 5, 9, 17$.

4) Сумма 3-го и 7-го членов арифметической прогрессии равна -12. Найдите сумму первых девяти членов этой прогрессии.

Пусть $a$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Сумма 3-го и 7-го членов прогрессии дается как:

Значения этих членов можно выразить через первый член и разность:

Подставим это в условие:

Упростим:

Разделим обе стороны на 2:

Теперь найдем сумму первых девяти членов прогрессии. Сумма $S_9$ первых девяти членов арифметической прогрессии выражается формулой:

Из уравнения (1) знаем, что $2a + 8d = -12$, поэтому:

Ответ: сумма первых девяти членов прогрессии равна $-54$.