1) Решите уравнение X³ + 6x² – x – 6 = 0. 2) В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 96, а сумма второго и третьего членов равна 160. Найдите первые три члена этой прогрессии.

1. Решим уравнение $X^3 + 6x^2 - x - 6 = 0$.

Для начала попробуем решить это уравнение методом подбора. Подставим простые значения для $x$.

При $x = -1$:

Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения.

Теперь разложим кубическое уравнение на множители, используя корень $x = -1$. Для этого разделим многочлен $X^3 + 6x^2 - x - 6$ на $x + 1$ (так как $x = -1$ — корень).

Для деления используем схему Горнера. Запишем коэффициенты многочлена:

Теперь делим:

1. $1 \times (-1) = -1$, $6 + (-1) = 5$,

2. $5 \times (-1) = -5$, $-1 + (-5) = -6$,

3. $-6 \times (-1) = 6$, $-6 + 6 = 0$.

Результат деления: $x^2 + 5x - 6$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$. Для этого применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$. Подставляем значения:

Получаем два корня:

Таким образом, корни уравнения $X^3 + 6x^2 - x - 6 = 0$ — это $x = -1$, $x = 1$ и $x = -6$.

2. Теперь решим задачу с геометрической прогрессией.

Обозначим первый член прогрессии как $a$, а знаменатель прогрессии как $r$. Тогда первый, второй и третий члены прогрессии будут:

Из условия задачи нам даны два уравнения:

1. Сумма первого и второго членов равна 96:

2. Сумма второго и третьего членов равна 160:

Теперь выразим $a$ из первого уравнения:

Подставим это в второе уравнение: