При каких значениях а сумма дробей (а-3)/(а+1) и (а+1)/(а-2) равна дроби (а²+11)/(а²-а-2)?

Давай разберёмся шаг за шагом. Нам нужно найти значения $a$, при которых выполняется равенство:

Шаг 1: Определяем область определения

• Левая часть имеет дроби $\frac{a-3}{a+1}$ и $\frac{a+1}{a-2}$, поэтому $a \neq -1$ и $a \neq 2$.

• Правая часть: $\frac{a^2 + 11}{a^2 - a - 2}$. Знаменатель раскладываем на множители:

так что снова $a \neq -1$ и $a \neq 2$. Всё совпадает.

Шаг 2: Приводим левую часть к общему знаменателю

Общий знаменатель для $\frac{a-3}{a+1} + \frac{a+1}{a-2}$ — $(a+1)(a-2)$.

Складываем:

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе

$(a-3)(a-2) = a^2 - 2a - 3a + 6 = a^2 - 5a + 6$
$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

Суммируем:

Итак, левая часть стала:

Шаг 4: Приравняем к правой части

Правая часть: $\frac{a^2 + 11}{(a+1)(a-2)}$

Уравнение:

Знаменатели равны и не равны нулю, поэтому приравниваем числители:

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение