2x + ay = a + 3, (a + 1)x + 6y = a + 9 Найдите все значения a, при которых система не имеет

Ответы на вопрос

Отвечает Савошко Вика.

Давайте разберём эту задачу по шагам, как я бы делал это на сайте с вопросами и ответами.

Нам дана система уравнений:

Нужно найти все значения $a$ , при которых система не имеет решений.

Система линейных уравнений вида:

\begin{cases} A_1 x + B_1 y = C_1 \\ A_2 x + B_2 y = C_2 \end{cases}

не имеет решений, если коэффициенты удовлетворяют условию:

\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}

То есть линии параллельны, но не совпадают.

Сравниваем коэффициенты:

Условие параллельности:

\frac{2}{a+1} = \frac{a}{6}

\frac{2}{a+1} = \frac{a}{6} \implies 2 \cdot 6 = a(a+1) \implies 12 = a^2 + a

Приведём к квадратному уравнению:

a^2 + a - 12 = 0

Дискриминант:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49

Корни:

a = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}

a_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3

a_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4

Теперь проверяем, что при этих значениях $a$ система не имеет решений:

Для $a = 3$ :

\frac{2}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \quad \text{(коэффициенты пропорциональны)}

\frac{C_1}{C_2} = \frac{3+3}{3+9} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \quad \text{(совпадает!)}

Последние заданные вопросы в категории Математика

2x + ay = a + 3, (a + 1)x + 6y = a + 9 Найдите все значения a, при которых система не имеет решений.