Когда произведение может быть равно множителю? Когда оно может быть меньше одного из множителей?

Рассмотрим произведение двух чисел $a$ и $b$.

1. Когда произведение равно одному из множителей?

Нужно, чтобы выполнялось, например:

Переносим:

Выносим $a$:

Отсюда два варианта:

• $a=0$

• $b=1$

То есть произведение равно первому множителю, если второй множитель равен 1 или первый множитель равен 0.

Аналогично, если

то получаем:

• $b=0$

• $a=1$

Примеры:

• $7 \cdot 1 = 7$

• $0 \cdot 5 = 0$

• $1 \cdot 9 = 9$

Итак, произведение равно одному из множителей, если другой множитель равен 1, либо если этот множитель сам равен 0.

2. Когда произведение может быть меньше одного из множителей?

Это зависит от того, какие числа мы умножаем.

Самый понятный случай: оба числа положительные

Если оба множителя положительны, то:

• при умножении на число больше 1 число увеличивается;

• при умножении на 1 не меняется;

• при умножении на число между 0 и 1 уменьшается.

Значит, если $a>0$ и $0$, то

То есть произведение меньше первого множителя.

Аналогично, если $b>0$ и $0$, то

Примеры:

• $8 \cdot 0{,}5 = 4$, а $4<8$

• $3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6$, а $0{,}6<3$

Поэтому обычно говорят:

произведение положительного числа на правильную дробь меньше самого числа.

3. Может ли произведение быть меньше одного из множителей в других случаях?

Да, может. Например:

• $2 \cdot (-3) = -6$, и $-6<2$

• $(-2)\cdot 5=-10$, и $-10<5$

Но в задачах школьного уровня чаще имеют в виду именно случай с положительными числами, где ответ такой:

Для положительных чисел:

произведение меньше одного из множителей, если другой множитель больше 0, но меньше 1.

Итог

Произведение равно множителю, если:

• второй множитель равен 1;

• или рассматриваемый множитель равен 0.

Произведение меньше одного из множителей, если:

• этот множитель положителен;

• а другой множитель находится между 0 и 1.

Например:

или

Если говорить совсем кратко:
умножение на 1 число не меняет, а умножение на число от 0 до 1 уменьшает его.