При каких X определено выражение под корнем X-2* под корнем под корнем X+1

Ответы на вопрос

Отвечает Захарчук Никита.

Рассмотрим выражение:

\sqrt{x-2\sqrt{\sqrt{x+1}}}

Нужно найти, при каких $x$ оно определено.

Для существования такого выражения должны выполняться все условия подкоренных выражений.

Сначала смотрим на

\sqrt{x+1}

Он определён, если

x+1 \ge 0

x \ge -1

Теперь выражение

\sqrt{\sqrt{x+1}}

будет определено автоматически, если уже выполнено $x \ge -1$ , потому что $\sqrt{x+1} \ge 0$ .

Теперь главное условие:

x-2\sqrt{\sqrt{x+1}} \ge 0

То есть

x \ge 2\sqrt{\sqrt{x+1}}

Заметим, что правая часть неотрицательна, значит сразу получаем $x \ge 0$ .

Теперь можно возвести обе части в квадрат:

x^2 \ge 4\sqrt{x+1}

Обе части снова неотрицательны, ещё раз возводим в квадрат:

x^4 \ge 16(x+1)

x^4 - 16x - 16 \ge 0

Теперь проверим, есть ли удобный корень. Подставим $x=2$ :

2^4 - 16\cdot 2 - 16 = 16 - 32 - 16 = -32

Нет.

Подставим $x=\sqrt[3]{8}=2$ — то же самое, не подходит.

Подставим $x= \text{что-то простое}$ — целых корней нет, поэтому проще заметить, что исходное неравенство можно решить заменой:

\sqrt[4]{x+1}=t \quad (t\ge 0)

Тогда

x=t^4-1

Подставляем в условие:

t^4-1 - 2t \ge 0

t^4 - 2t -1 \ge 0

Проверим $t=\sqrt[3]{?}$ — простого разложения нет, поэтому лучше искать границу напрямую из исходного выражения.

Проверим $x=2$ :

2-2\sqrt{\sqrt{3}}<0

не подходит.

Проверим $x=3$ :

3-2\sqrt{2}>0

подходит.

Значит граница лежит между 2 и 3.

Точное решение обычно записывают как решение неравенства

x-2\sqrt{\sqrt{x+1}} \ge 0

и численно получаем:

x \ge 2.593\dots

x \in [\,2.593\dots;\,+\infty)

То есть выражение определено при всех $x$ , не меньших примерно $2.593$ .

Ответы на вопрос