При каких значениях m уравнение 0,5(5x - 1) = 4,5 - 2m(x - 2) имеет корень? Найдите этот корень.

Рассмотрим уравнение

Нужно выяснить, при каких значениях $m$ оно имеет корень, и найти этот корень.

Сначала раскроем скобки:

левая часть:

правая часть:

Тогда уравнение принимает вид:

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

Получаем:

Теперь возможны два случая.

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю

То есть

Тогда уравнение имеет единственный корень:

Упростим дробь:

Заметим, что

поэтому

Значит, при всех $m$, для которых

корень существует и равен

Найдем, когда знаменатель равен нулю:

2. Коэффициент при $x$ равен нулю

То есть

Подставим это значение в уравнение

Тогда получаем:

То есть выходит верное равенство

Это означает, что при $m=-1{,}25$ уравнение имеет не один корень, а бесконечно много корней: ему удовлетворяет любое значение $x$.

Ответ

• При $m\ne -1{,}25$ уравнение имеет единственный корень:

• При $m=-1{,}25$ уравнение имеет бесконечно много корней, то есть корнем является любое число.