Произведение цифр двузначного числа в три раза больше суммы его цифр. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

Обозначим двузначное число как $10a + b$, где $a$ — десятки, а $b$ — единицы числа. Из условия задачи у нас есть две важные информации:

1. Произведение цифр числа в три раза больше суммы его цифр. Это можно записать как:

   $$a \cdot b = 3(a + b)$$

   Упростим это уравнение:

   $$a \cdot b = 3a + 3b$$

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$a \cdot b - 3a - 3b = 0$$

   Добавим 9 с обеих сторон:

   $$a \cdot b - 3a - 3b + 9 = 9$$

   Преобразуем левую часть:

   $$(a - 3)(b - 3) = 9$$

2. Если прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Это условие можно записать как:

   $$10a + b + 18 = 10b + a$$

   Упростим это уравнение:

   $$10a + b + 18 = 10b + a$$

   Переносим все члены с $a$ и $b$ на одну сторону:

   $$10a - a + b - 10b = -18$$

   Упростим:

   $$9a - 9b = -18$$

   Разделим на 9:

   $$a - b = -2$$

   То есть:

   $$a = b - 2$$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $(a - 3)(b - 3) = 9$

2. $a = b - 2$

Подставим $a = b - 2$ во первое уравнение:

Упростим:

Раскроем скобки:

Преобразуем:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Но так как $b$ должно быть целым числом, нам нужно подбирать значения вручную.