Решите неравенство: х в квадрате + 2х-48_>0

Рассмотрим неравенство:

1. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Для этого решим уравнение $x^2 + 2x - 48 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = 2$, $c = -48$, тогда:

2. Найдем корни уравнения:

Корни уравнения можно найти по формуле:

Подставим значения:

Тогда два корня:

3. Определим знаки выражения $x^2 + 2x - 48$ на интервалах:

Корни уравнения делят числовую ось на три интервала: $(-∞, -8)$, $(-8, 6)$ и $(6, ∞)$.

• На интервале $(-∞, -8)$ возьмем тестовое значение, например, $x = -9$:

Значение положительное, значит, на интервале $(-∞, -8)$ выражение положительно.

• На интервале $(-8, 6)$ возьмем тестовое значение, например, $x = 0$:

Значение отрицательное, значит, на интервале $(-8, 6)$ выражение отрицательно.

• На интервале $(6, ∞)$ возьмем тестовое значение, например, $x = 7$:

Значение положительное, значит, на интервале $(6, ∞)$ выражение положительно.

4. Решим неравенство:

Неравенство $x^2 + 2x - 48 \geq 0$ выполняется там, где выражение положительное или равно нулю. Из анализа интервалов мы видим, что выражение положительное на интервалах $(-∞, -8)$ и $(6, ∞)$, а также равно нулю в точках $x = -8$ и $x = 6$.

Итак, решение неравенства: