решите неравенство: |x² - 2x| < 6

Для решения неравенства $|x^2 - 2x| < 6$, рассмотрим два случая, которые возникают из-за абсолютного значения.

1. Разбор неравенства

Абсолютное значение выражения $|A| < B$ (где $B > 0$) эквивалентно системе двух неравенств:

В нашем случае:

означает, что:

2. Решение первого неравенства: $x^2 - 2x < 6$

Перепишем его как:

Решим это квадратное неравенство. Для этого сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

Найдем его корни с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Корни уравнения:

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x - 6 < 0$ выполнено для $x$ в интервале:

3. Решение второго неравенства: $x^2 - 2x > -6$

Перепишем его как:

Для решения этого неравенства рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и парабола $x^2 - 2x + 6$ не пересекает ось $x$. Поскольку старший коэффициент положительный, то парабола открывается вверх и выражение $x^2 - 2x + 6 > 0$ выполнено для всех $x$.

4. Итоговое решение

Соединяя оба неравенства, получаем, что решение исходного неравенства:

это интервал:

где $x$ принадлежит этому интервалу.