Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых любые две соседние цифры различаются на 3?

Для того чтобы найти количество четырёхзначных чисел, у которых любые две соседние цифры различаются на 3, начнём с анализа условий задачи.

Пусть четырёхзначное число состоит из цифр $a_1, a_2, a_3, a_4$, где каждая цифра $a_i$ (для $i = 1, 2, 3, 4$) принадлежит множеству цифр от 0 до 9. Условие задачи гласит, что для любых двух соседних цифр выполняется условие: разница между ними равна 3, то есть:

Для удобства рассмотрим возможные пары цифр, разница между которыми равна 3:

• Если $a_i = 0$, то $a_{i+1} = 3$.

• Если $a_i = 1$, то $a_{i+1} = 4$.

• Если $a_i = 2$, то $a_{i+1} = 5$.

• Если $a_i = 3$, то $a_{i+1} = 0$ или $a_{i+1} = 6$.

• Если $a_i = 4$, то $a_{i+1} = 1$ или $a_{i+1} = 7$.

• Если $a_i = 5$, то $a_{i+1} = 2$ или $a_{i+1} = 8$.

• Если $a_i = 6$, то $a_{i+1} = 3$ или $a_{i+1} = 9$.

• Если $a_i = 7$, то $a_{i+1} = 4$.

• Если $a_i = 8$, то $a_{i+1} = 5$.

• Если $a_i = 9$, то $a_{i+1} = 6$.

Теперь разберемся, как это влияет на выбор цифр для четырёхзначного числа.

Шаг 1. Первая цифра

Первая цифра $a_1$ не может быть 0 (так как это четырёхзначное число), значит, возможные значения для $a_1$ — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Шаг 2. Переход от одной цифры к следующей

Для каждой цифры, кроме последней, существует точно два возможных значения для следующей цифры, так как для каждой цифры возможны два варианта разницы 3 (например, если $a_i = 3$, то $a_{i+1} = 0$ или $a_{i+1} = 6$).

Шаг 3. Подсчёт количества чисел

Итак, количество возможных четырёхзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно количеству способов выбрать цифры для каждого положения числа.

• Для $a_1$ есть 9 возможных вариантов (цифры от 1 до 9).

• Для $a_2$ есть 2 возможных варианта, в зависимости от значения $a_1$.

• Для $a_3$ есть 2 возможных варианта, в зависимости от значения $a_2$.

• Для $a_4$ есть 2 возможных варианта, в зависимости от значения $a_3$.

Таким образом, общее количество таких чисел равно:

Ответ: существует 72 четырёхзначных числа, у которых любые две соседние цифры различаются на 3.