Студент может добраться до университета на одном из трёх видов транспорта: автобусе, троллейбусе, метро. Предполагается, что выбор транспорта равновозможен. Вероятность того, что он успевает на занятия, добираясь на автобусе, равна 0,6; на троллейбусе — 0,5; на метро — 0,7. Студент опоздал на занятие. Какова вероятность того, что он ехал на троллейбусе?

Задача решается с помощью теоремы Байеса. Нам нужно найти вероятность того, что студент ехал на троллейбусе, при условии, что он опоздал на занятие. Для этого обозначим:

• $A_1$ — событие, что студент ехал на автобусе.

• $A_2$ — событие, что студент ехал на троллейбусе.

• $A_3$ — событие, что студент ехал на метро.

• $B$ — событие, что студент опоздал на занятие.

Нам нужно найти $P(A_2 | B)$, то есть вероятность того, что студент ехал на троллейбусе, если он опоздал.

Сначала используем формулу Байеса:

где:

• $P(A_2)$ — вероятность того, что студент выбрал троллейбус, то есть $P(A_2) = \frac{1}{3}$, так как выбор транспорта равновозможен.

• $P(B | A_2)$ — вероятность того, что студент опоздает, если едет на троллейбусе, то есть $P(B | A_2) = 1 - 0.5 = 0.5$, так как вероятность того, что он успеет, равна 0.5.

• $P(B)$ — общая вероятность того, что студент опоздает на занятие. Для её вычисления используем теорему о полной вероятности:

где:

• $P(B | A_1) = 1 - 0.6 = 0.4$, вероятность того, что студент опоздает, если едет на автобусе.

• $P(A_1) = \frac{1}{3}$, вероятность того, что студент выбрал автобус.

• $P(B | A_3) = 1 - 0.7 = 0.3$, вероятность того, что студент опоздает, если едет на метро.

• $P(A_3) = \frac{1}{3}$, вероятность того, что студент выбрал метро.

Теперь можем вычислить $P(B)$:

Теперь, зная $P(B)$, можем найти $P(A_2 | B)$:

Ответ: вероятность того, что студент ехал на троллейбусе, при условии, что он опоздал на занятие, равна примерно 0.4167, или 41,67%.